Anell quocient

En matemàtiques, un anell quocient respecte d'un ideal és el conjunt quocient de les classes d'equivalència dels elements tals que la seva resta pertany a l'ideal.

Els ideals dels anells són conjunts que, a més de ser subanells, atrauen cap a dins de l'ideal el resultat de multiplicar qualsevol element de l'anell per un element de l'ideal, per exemple el {0} tot sol és sempre un ideal (perquè qualsevol element multiplicat per 0 dona 0). En el nombres enters els nombres parells són un ideal (perquè a més de formar un anell qualsevol nombre, encara que no sigui parell, multiplicat per un nombre parell dona de resultat un nombre parell).

Els ideals permeten definir una relació entre els elements d'un anell: dos elements estan relacionats quan la seva diferència pertany a l'ideal. Aquesta relació resulta ser una relació d'equivalència. Per exemple, si l'ideal és el dels nombres parells dins dels enters, tenim que tots el múltiples de dos estan relacionats entre ells: la diferència de qualsevol parell de múltiples de dos és sempre un múltiple de dos. Alhora, els nombres obtinguts sumant 1 a un múltiple de dos (és a dir, els senars) també estan relacionats entre si perquè restant dos nombres d'aquest conjunt el resultat també és un múltiple de dos.

A continuació es construeixen les classes d'equivalència identificant com si fossin un de sol tots els elements que estan relacionats. L'anell quocient és precisament el conjunt d'aquestes classes d'equivalència. Per exemple, l'anell quocient dels nombres enters respecte de l'ideal dels nombres parells té dos elements: La classe d'equivalència de tots els nombres parells i la classe d'equivalència dels nombres que s'obtenen sumant 1 a un nombre parell (els nombres senars).